Mathe? Mathe! Kartonaufgabe... :)

Hallo, über die Herbstferien habe ich folgene Aufgabe bekommen:

Eine Firma will aus 45 cm x 90 cm großen Kartons Schachteln nach dem nebenstehenden Falzmuster herstellen. Die Schachteln sollen ein möglichst großen Volumen haben. Vernachlässige bei der Lösung die Dicke des Kartons.

Sie klingt einfach, oder? Bloß leider komme ich nicht auf die Lösung!
Wäre jemand so nett und rechnet das a) aus und b) vor und c) erklärt mir das?!

Gruß, Va Bene

PS: Oberstufe, 12, Niedersachsen.
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Tschüss
Grüße an: schnief, PeterSilie, DieElite, 2hot, Bigchief, Dori, kaader, Mirko04, qui_killer, RAMB3R, Retter, Interim, Duxx & RealPy, 0le und Bucksche, der mir immer als Buschke in Erinnerung bleibt!
Auf wiedersehen bei ICQ@269923439...

Wenn du noch erklärst, was diese "X"e bedeuten sollen?!

Tja... genau so habe ich die Aufgabe bekommen... und die Abbildung sieht auch genau so aus... vielleicht wird ja doch noch jemand aus der Aufgabe schlau!?
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Das x ist wohl ne Variable, was auch sonst.

Aber die vielen gestrichelten Linien besonders am unteren und oberen Rand verwirren ziemlich. Ich hab kein Plan wie das gefaltet werden soll. Hast du nich ein Bild vom gefalteten Karton?

KanalRatte hat folgendes geschrieben:

Hast du nich ein Bild vom gefalteten Karton?

Jap, aber nur im Buch... und leider keine Digicam und / oder Scanner...
Ich such mal fix bei Google nach etwas ähnlichem...
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Va Bene hat folgendes geschrieben:

KanalRatte hat folgendes geschrieben: Hast du nich ein Bild vom gefalteten Karton? Jap, aber nur im Buch... und leider keine Digicam und / oder Scanner... Ich such mal fix bei Google nach etwas ähnlichem...

Sag mal, welches Buch und welche Seite....
Vielleicht hab ich's ja.

LK - Elemente der Mathematik - Leistungskurs Analysis
Seite 111 / Aufgabe 3

(man mag nicht glauben, was bei alles bei Google unter Karton, carton und cardbox findet!! )
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Hier ist das Bild... habs via ICQ-Anweisungen machen lassen... ist nicht besonders geworden, aber man erkennt es ungefähr...


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soweit ich mich erinnern kann habe ich dass in der 11 auch lösen müssen, viel unter die Katigorie Extremwert aufgaben. Ich schau ma nach, vielleicht finde ich sie noch, dann melde ich mich nochma.

Also, wenn ich dir n Tipp geben darf, bastel es...klingt n bissl blöd, aber das hilft, es sich vorzustellen! Wenn du dir die Sache auch so vorstellen kannst gehts natürlich auch...Maximieren, ist eigentlich immer mit Ableitungen und sowas...Du musst also ne Formel aufstellen die die Seitenlängen der Schachtel in Bezug zu den Kantenlängen des Karton setzt...
Ich wunder mich n bissl über das Faltmuster, wie soll das ablaufen? also wie will man das falten, am Ende doppelt umknicken? Also bist du dir da mit der "Falzzeichnung" sicher ?

Also, fals du noch interesse an der Lösung hast, vielleicht is das richtig, hab ma ein bissle rumgerechnet.

Also, das Volumen dieses Körpers ist ja V=a*b*c, hab leider keine Zeichnung dazu, aber a ist die Breite, b die höhe und c die Tiefe des Kartons.

Jetzt versucht man eine der Variablen in Abhänigkeit einer anderen Auszudrücken, um sie zu ersetzten:

90cm = 2*b +2*c

<=> b = 45 - c

45 = a + c

<=> a = 45 - c

Jetzt setzt du in die Obrige Gleichung ein und hast eine Fuktion über c:

f(c)=(45-c)*(45-c)*c
=(2025-90c+c²)*c
=c³ - 90c² + 2025c

Um jetzt ein Maxima oder Minima zu bestimmen bilden wir die 1.Ableitung der Funktion:

f'(c) = 3c²-180c+2025

Jetzt sucht man von der Ableitung die Nullstelle:

0 = 3c²-180c+2025
0 = c²-60+675
Hier bietet sich die p,q Formel an:

c12 = 30 +- Wurzel aus 900 - 675
c1 = 15
c2 = 45

Um jetzt zu sehen, ob es ein Maxima oder Minima ist, bilden wir die 2. Ableitung, die kleiner als Null sein Muss.

f''(c) = 6c - 180
f''(45) = 90 => Minima nicht der gesuchte Wert!

f''(15) = -90 => Maxima, wunderbar, für c = 15 ist das Volumen Maximal.

Jetzt nur noch schnell eingesetzt und die anderen Werte ausgerechnet und schon biste Fertig.

a = 45 - 15 =30cm
b= 30 cm
c= 15cm

kann sein, dass es falsch ist, weiß es net so genau, aber so ähnlich wird es gemacht.

PS.: Wie ich mich kenne, hab ich nen rechenfehler drin.

Ich hoffe ich konnte nen bissle helfen.

@Max:
Dein Weg ist auf jeden Fall richtig, aber leider kann ich die Ausgangsgleichungen 90=2b+2c und 45=a+c überhaupt nicht nachvollziehen. Wie hast du die denn aus dem Faltbild abgeleitet?

Meiner Meinung nach müssten die Gleichungen wie folgt lauten:
V=a*b*x, wobei a Breite, b Tiefe und x (aus dem Faltbild) die Höhe ist. Soweit sind wir uns ja noch einig

Ich erklär an dieser Stelle mal kurz, wie ich das Faltbild verstehe:
Das obere und untere Ende soll an den gestrichelten Linien drei mal gefaltet werden, damit man die überstehenden Stücke, die durch Schneiden der durchgezogenen Linie entstehen, nachher dareinstecken kann, ohne dass sie im Inneren des Kartons rumfliegen. (Nebenbei bemerkt müssten meiner Meinung nach in der Mitte auch ein paar Linien durchgezogen sein, sonst wird das Falten schwierig...) Dass die Linie x in der Mitte des Faltbilds länger ist als die oben und unten, halte ich jetzt mal für einen Maßstabsfehler.

Jedenfalls müssten Nebenbedingungen ja jetzt lauten:
90=3x+b+x+b+3x (von oben nach unten), also
90=7x+2b <=> b=45-3,5x
45=x+a+x (von links nach rechts), also
45=2x+a <=> a=45-2x

Einsetzen in V=a*b*x ->
V(x)=(45-2x)*(45-3,5x)*x=2025x-90x²-157,5x²+7x³=7x³-247,5x²+2025x

Ableiten:
V'(x)=21x²-495x+2025

Jetzt so weitermachen wie von Max beschrieben (könnte allerdings ne hässliche Rechnung geben).

Hier die Lösung:

Es ist V(x) = x * (45 - 3,5x) * (45 - 2x) mit 0 größer= x größer= 90/7

Es ergibt sich V'(x) = 3 * (7 * x² - 165 * x + 675) und V''(x) = 3 * (14 * x - 165).

Für V'(x) = 0 ergeben sich als Lösungen x1 ungefähr= 18,30 und x2 ungefähr= 5,27.

Wegen x1 > 90/7 und V''(x2) ungefähr= -273,72 < 0 wird das Volumen für x ungefähr= 5,27 maximal.

Der Karton mit maximalen Volumen hat (näherungsweise) die Kantenlängen 5,27cm und 26,56cm und 36,46cm. Es ist Vmax ungefähr= 4822,5cm³.




So, wer kapiert das?
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Stimmt... es gibt einmal einen Maßstabfehler und ich habe 2 x'se vergessen...



Die Breite von den beiden äußereren Streifen ist wirklich x, wie Fort schon erkannt hat.

Gestrichelte Linien habe ich jedoch nicht vergessen...
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Dann war mein Ansatz ja sogar richtig.
Was genau verstehst du denn jetzt an der Lösung nicht?

Dass x >= 0 sein muss, sollte klar sein.
Dass es <= 90/7 sein muss, liegt daran, dass du in den 90 cm ja schon 7mal die Länge x drin hast (siehe Faltbild).

(Mathematische Beweis dafür:
Annahme: x > 90/7
=> 90 = 7x+2b > 7*90/7+2b=90+2b
=> 0>2b Widerspruch (b muss auch positiv sein))

Da x_1 größer als 90/7 ist, kommt es also gar nicht als Lösung in Frage.
Und da für x_2 die 2. Ableitung kleiner 0 ist, muss dort ein Maximum sein (notwendiges + hinreichendes Kriterium erfüllt); zunächst einmal nur ein relatives (bzw. lokales), aber da in dem Bereich keine weiteren Maxima liegen und die Intervallgrenzen (0 und 90/7, wie oben beschrieben) beide zum Volumen 0 führen, ist es auch ein absolutes (bzw. globales).

PS: Ich meinte nicht, dass du gestrichelte Linien vergessen hast, sondern dass die zwei kurzen Linien (der Länge x), die in der Mitte jeweils nach außen gehen, durchgezogen sein müssten. Sonst kann man das nicht Falten.

Ihr Freaks
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Danke, danke danke!

Danke, Max, dass du uns den Weg gezeigt hast!

Danke, Fort, dass du den Weg so überprüft hast, dass das Ergebnis am Ende stimmt!

Danke, Timm, dass du mir das noch einmal vorgekaut hast!

Danke, ich habe jetzt alles kapiert! Jetzt muss ich das nur noch "schön aufschreiben"...

für alle!

[und für Timm ]
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Gar kein Problem, hat mir selber spass gemacht, das auszurechnen. Bin froh, dass ich helfen konnte!


EDIT: Ich sehe gerade, mit meinem Ansatz war nahe am Ergebins dranne glaub ich mich erinnern zu können.